Подготовка к ОГЭ (ГИА)

Условие задачи:
Найдите последнюю цифру числа 2²⁰¹⁰.

Решение:
Возводить в степень число 2 долго, поэтому исследуем вопрос о том, какими цифрами могут оканчиваться степени числа 2.

Рассмотрим последовательные натуральные степени числа 2.

Заметим, что если показатель степени 2 при делении на 4 дает остаток 1 (1, 5, 9, ...), то последняя цифра в записи числа равна 2.

Если показатель степени 2 при делении на 4 дает остаток 2 (2, 6, 10, ...), то последняя цифра в записи числа равна 4.

Если показатель степени 2 при делении на 4 дает остаток 3 (3, 7, ...), то последняя цифра — 8.

Если показатель степени 2 делится на 4 (1, 5, ...), то последняя цифра — 6.

Рассмотрим число 2010.

2010 = 2008 + 2 = 4 * 502 + 2.

Значит, последняя цифра в записи числа 2²⁰¹⁰ равна 4

Ответ: 4