Условие задачи:
Основания ВС и AD трапеции ABCD равны соответственно 3 и 12, BD = 6. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Решение задачи:
Важно отметить два факта: 1) углы ADB и DBC равны как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD; 2) эти равные углы образованы сторонами AD и BD большого треугольника и BC и BD маленького. Будем действовать от обратного. Допустим, треугольники CBD и BDA подобны. Тогда они имеют следующие подобные стороны: сторона AD большого треугольника подобна стороне BD маленького, сторона BD большого треугольника подобна стороне ВС маленького:
Если два треугольника, имеющие как минимум один одинаковый угол и одну общую сторону, подобны, то отношение подобных сторон должно быть одинаковым как коэффициент подобия. Проверим:
Как видим, отношение двух пар соответственных сторон одинаково. При этом стороны AD и BD большого треугольника и стороны BD и ВС маленького образуют равные углы. Значит, стороны, противоположные этим углам, тоже подобны, и два треугольника действительно являются подобными. Утверждение доказано.